miércoles, 28 de marzo de 2012

LEY DE AMPERE




En física del magnetismo, la ley de Ampère, modelada por André-Marie Ampère en 1826, relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica.
La ley de Ampére explica, que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es igual a la corriente que lo recorre en ese contorno.
El campo magnético es un campo vectorial con forma circular, cuyas líneas encierran la corriente. La dirección del campo en un punto es tangencial al círculo que encierra la corriente.
El campo magnético disminuye inversamente con la distancia al conductor.


      1 Forma diferencial

El rotacional del campo magnético puede calcularse igualmente a partir de la ley de Biot y Savart para una densidad de corriente de volumen. El resultado es la llamada Ley de Ampère (descubierta por Maxwell):
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}
La ley de Ampère expresa que el campo magnético, a diferencia del electrostático, sí posee fuentes vectoriales. Por tanto, el campo magnético no deriva de un potencial escalar.
El que las densidades de corriente sean las fuentes vectoriales del campo magnético, esto es, proporcionales a su rotacional, es coherente con la propiedad conocida de que las líneas de campo de \mathbf{B} rotan en torno a las corrientes que lo crean.

1.1 Demostración

Para demostrar esta ley partiendo de la ley de Biot y Savart se aplica que
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}        \mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'
Aplicando que
\nabla\times\mathbf{B} = \nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right) = \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right) - \nabla^2\mathbf{A}
resultan dos expresiones integrales. La primera se anula demostrando que este campo \mathbf{A} es solenoidal (lo cual no es trivial). La segunda, tras aplicar las propiedades de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| resulta ser igual a \mu_0\mathbf{J}.

2 Límites de validez

A diferencia de la Ley de Gauss para el campo magnético, la ley de Ampère sólo es válida para corrientes estacionarias. Deberá ser modificada cuando existan campos o corrientes variables en el tiempo.

3 Forma integral

A partir de la forma diferencial de la Ley de Ampère puede obtenerse una expresión integral equivalente:
\oint_\Gamma  {{\mathbf{B}}\cdot{\mathrm{d}}{\mathbf{r}}}  = {\mu_0}I  I = \int_S {{\mathbf{J}}\cdot{\mathrm{d}}{\mathbf{S}}}
que, en palabras, expresa que la circulación de \mathbf{B} a lo largo de una curva cerrada Γ arbitraria (interpretable como la rotación neta de \mathbf{B} al recorrer esta curva) es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa una superficie S apoyada en la curva Γ y orientada según la regla de la mano derecha.
La demostración es inmediata sin más que aplicar el TEOREMAS DE STOKS
\oint_\Gamma\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_S(\nabla\times\mathbf{B})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\mu_0\int_S\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\mu_0I
En la expresión integral de la ley de Ampère la elección de S es arbitraria, con tal de que esté apoyada en Γ. Esto es una consecuencia de que la densidad de corriente estacionaria es un campo solenoidal.

4 Condición de salto

Si tenemos una interfaz entre dos regiones, y sobre esta interfaz circula una densidad de corriente superficial \mathbf{K}, las componentes tangenciales del campo magnético pueden experimentar una discontinuidad dada por la ecuación
\mathbf{n}\times[\mathbf{B}]=\mu_0\mathbf{K}
Para ver cómo la ley de Ampère conduce a esta condición de salto consideremos tres situaciones progresivamente más complejas
  1. Si tenemos un hilo de corriente, las líneas de campo giran en torno al hilo.
  2. Si tenemos un conjunto de hilos paralelos, el campo sigue envolviendo los hilos, extendiéndose tangencialmente a ellos.
  3. Para una lámina de corriente superficial, el campo es tangencial a la superficie, pero en diferentes sentidos a cada lado, por lo que hay una discontinuidad en la componente tangencial.
Para dar un valor concreto a la ilustración anterior, supongamos que la lámina se encuentra en x = 0, y la densidad de corriente va como \mathbf{K} = K \mathbf{u}_z. La normal a esta superficie es \mathbf{n} = \mathbf{u}_x, con lo que la condición de salto queda
{{\mathbf{u}}_x} \times \left[ {{B_x}{{\mathbf{u}}_x} + {B_y}{{\mathbf{u}}_y} + {B_z}{{\mathbf{u}}_z}} \right] = {\mu _0}K{{\mathbf{u}}_z}
Desarrollando el producto vectorial
 -\left[ {{B_z}} \right]{{\mathbf{u}}_y} + \left[ {{B_y}} \right]{{\mathbf{u}}_z} = {\mu _0}K{{\mathbf{u}}_z}
e igualando componente a componente
\left[ {{B_z}} \right] = 0\,        \left[ {{B_y}} \right] = {\mu _0}K\,
esto es, la componente z, paralela a la corriente, es continua, mientras que la y (tangente a la superficie y normal a la corriente) presenta un salto.

5 Aplicaciones

Aparte de su esencial importancia teórica, la ley de Ampère es una poderosa herramienta para el cálculo de campos magnéticos en situaciones de alta simetría.
Así, permite hallar de forma sencilla
  • El campo magnético de un hilo infinito por el cual circula una corriente I
\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_\varphi
  • El campo magnético de un cable cilíndrico de radio a por el cual circula una densidad de corriente J0
\mathbf{B}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0J_0\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho < a) \\ & \\\displaystyle\frac{\mu_0J_0a^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (\rho > a)\end{cases}
  • El campo magnético de un solenoide ideal de radio a, con n espiras por unidad de longitud, por las que circula una corriente I
\mathbf{B}=\begin{cases}\displaystyle \mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho < a) \\ & \\ \displaystyle\mathbf{0} & (\rho > a)\end{cases}

6 La ley de Ampère no siempre es útil

Aunque resulta tentador emplear la ley de Ampère para calcular cualquier campo magnético, en la mayoría de los casos no es útil como herramienta. Deben darse las condiciones necesarias.
Para una espira circular, por ejemplo, no existe una curva Γ, ni circular ni de otra forma que permita calcular el campo, ya que \mathbf{B} no puede sacarse de la integral por ser \mathbf{B} = \mathbf{B}(\rho,z).
Para un segmento finito, la corriente I depende de la superficie S que se elija, ya que no es una corriente estacionaria.

7 Ley de Ampère en medios materiales



Si bien la ley de Ampère, tal como se enuncia más arriba es válida en todas las situaciones estacionarias, haya medios materiales presentes o no, en el caso de que sí los haya suele escribirse de otra forma.
En un medio material, las corrientes de desglosan en corrientes libres y corrientes de magnetización. Dado que el valor de estas últimas es normalmente desconocido a priori, se introduce el campo magnético H
\mathbf{H}\equiv\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}
de manera que la ley de Ampère queda como
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_l
y, en forma integral
\oint\mathbf{H}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=I_l
siendo \mathbf{J}_l e Il la densidad e intensidad de corriente libre.

\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
Ley de Ampère
  • La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto.
  • Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular ala misma.
  • El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl.
  • El campo magnético B tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia.
La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale
Ley de Ampère
  • La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.
  • Despejamos el módulo del campo magnético B.
Ley de Ampère
Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot. 
Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo de un cilindro hueco.
Cuando el número de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo magnético en el interior, (para r<a), en el exterior el campo magnético es tangente a circunferencias concéntricas de radio r>a. Vamos a ver cómo en esta situación es aplicable la ley de Ampère.
Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sección y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b.
  • La dirección del campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corriente cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P.
  • La simetría de la distribución de cargas nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea
B·2ð r
  • Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes.
  • r<a
    Ley de Ampère
    Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r<a es cero. Aplicando la ley de Ampère
    B·2ð r=ð 0 ·0
    B=0
    El campo magnético es nulo para r<a tal como hemos comprobado en el applet.
    • a<r<b
      Ley de Ampère
      Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio a<r<b es una parte de la intensidad total i.
      Si la corriente i está uniformemente distribuida en la sección ð b2-ð a2. La corriente que atraviesa la circunferencia de radio r es la que atraviesa la sección pintada de color rojo intenso cuya área es ð r2-ð a2.
      Ley de Ampère
      Aplicando la ley de Ampère
      Ley de Ampère
      • r>b
Ley de Ampère
Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r>b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es
Ley de Ampère


conclusión



La investigación realizada confirma la hipótesis inicial acerca de la limitación que contiene el
tratamiento de la ley de Ampère en los textos básicos de electromagnetismo, lo cual estaría
generando dificultades conceptuales a los alumnos, en particular cuando intentan utilizarla
para resolver cierto tipo de problemas. La complejidad matemática que representa la
demostración de la ley de Ampère a partir de la ley de Biot y Savart para el caso general de
una espira cerrada con corriente, no justificaría la forma simplificada con que se la está
enseñando. En todo caso, lo más correcto sería formular el planteo general, mostrando su
resultado, y dejar la demostración matemática para un eventual curso más avanzado.
La simulación computacional presentada podría utilizarse como recurso didáctico para poner
en evidencia cuales son las corrientes que originan el campo magnético que interviene en la
ley de Ampère. De manera similar, sin mayores detalles matemáticos, se podría incluir el
estudio del grado de validez de la ley para corrientes cuasiestacionarias.
Los resultados de este estudio pueden ser útiles a docentes e investigadores con relación altratamiento y enseñanza del tema en los primeros cursos de la universidad.

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